บทที่่4

สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างกราฟของสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร x และ y คือ

${\displaystyle y=mx+b\!}$

โดยที่ m คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x², y^1/3, xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง

สมการเหล่านี้ล้วนเป็นสมการเชิงเส้น

${\displaystyle 3a+472b=10b+37\!}$

${\displaystyle 2x+y-5=-7x+4y+3\!}$

รูปแบบของสมการเชิงเส้นในสองมิติ

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ x และ y คือตัวแปร

รูปแบบทั่วไป

${\displaystyle Ax+By+C=0\!}$

เมื่อ A กับ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน x จะอยู่ที่ระยะ −C/A และเมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน y จะอยู่ที่ระยะ −C/B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −A/B

รูปแบบมาตรฐาน

${\displaystyle Ax+By=C\!}$

เมื่อ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง A, B, C จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก

รูปแบบความชันและระยะตัดแกน

${\displaystyle y=mx+b\!}$

เมื่อ m แทนความชันของเส้นตรง และ b คือระยะตัดแกน y ซึ่งเป็นพิกัด y ของจุดที่เส้นตรงนั้นตัดผ่านแกน y ถ้าหากให้ค่า x = 0 เราจะเห็นสมการนี้อยู่ในรูปแบบ y = b

รูปแบบจุดและความชัน

${\displaystyle y-y_{1}=m\cdot (x-x_{1})\!}$

เมื่อ m คือความชันของเส้นตรงและ (x₁, y₁) คือจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น ซึ่งสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนได้โดยง่าย รูปแบบจุดและความชันแสดงให้เห็นถึงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นตรงนั้นในแนวแกน xและแกน y โดยมีจุด (x₁, y₁) เป็นจุดยืน

ในบางโอกาสเราอาจเห็นรูปแบบจุดและความชันอยู่ในรูปแบบนี้

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}=m}$

แต่อย่างไรก็ตาม ถ้าหาก x = x₁ สมการนี้จะไม่มีความหมาย

รูปแบบระยะตัดแกน

${\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}$

เมื่อ E และ F ต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่ กราฟของสมการนี้จะมีระยะตัดแกน x เท่ากับ E และระยะตัดแกน y เท่ากับ F รูปแบบระยะตัดแกนสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยกำหนดให้ A = 1/E, B = 1/F และ C = 1

รูปแบบจุดสองจุด

${\displaystyle y-k={\frac {q-k}{p-h}}(x-h)}$

เมื่อ p ≠ h กราฟนี้จะเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (h, k) และจุด (p, q) โดยมีความชันเท่ากับ m = (q − k) / (p − h) รูปแบบจุดสองจุดสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบจุดและความชันได้ โดยการคำนวณหาค่าที่เจาะจงของความชันมาแทนที่ตำแหน่งของ m

รูปแบบอิงพารามิเตอร์

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=Tt+U\\y&=Vt+W\end{aligned}}}$

รูปแบบนี้เป็นสมการหลายชั้น (simultaneous equations) สองสมการในพจน์ของตัวแปรพารามิเตอร์ t ที่มีความชัน m = V/T โดยมีระยะตัดแกน x อยู่ที่ (VU−WT) / V และระยะตัดแกน y อยู่ที่ (WT−VU) / T

สมการรูปแบบนี้มีความสัมพันธ์กับรูปแบบจุดสองจุด เมื่อ T = p−h, U = h, V = q−k, และ W = k จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(p-h)t+h\\y&=(q-k)t+k\end{aligned}}}$

ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ t จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด (h, k) ไปยัง 1 ที่จุด (p, q) ค่าของ t ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ t จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation)

รูปแบบเส้นแนวฉาก

${\displaystyle y\sin \phi +x\cos \phi -p=0\!}$

เมื่อ φ คือมุมเอียงของเส้นแนวฉาก และ p คือความยาวของเส้นแนวฉาก เส้นแนวฉากนี้คือระยะทางของส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุด ที่เชื่อมระหว่างกราฟเส้นตรงของสมการเชิงเส้นกับจุดกำเนิด รูปแบบเส้นแนวฉากสามารถแปลงจากรูปแบบทั่วไปได้โดยหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย ${\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$ และถ้าหาก C > 0 ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย −1 เพื่อให้ค่าคงตัวตัวสุดท้ายติดลบ รูปแบบนี้เรียกว่า รูปแบบมาตรฐานเฮสส์ ซึ่งตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันลุดวิก ออตโต เฮสส์ (Ludwig Otto Hesse)

กรณีพิเศษ

${\displaystyle y=F\!}$

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 0 และ B = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน m = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน y เท่ากับ F ถ้า F ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน x แต่ถ้า F = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน x เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

${\displaystyle x=E\!}$

สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ A = 1 และ B = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน x เท่ากับ E ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า E ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน y แต่ถ้า E = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน y เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน

${\displaystyle y=y\!}$ และ ${\displaystyle x=x\!}$

ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ xy) ดังตัวอย่าง ${\displaystyle 2x+4y=2(x+2y)}$ นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด

โปรดสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนทางพีชคณิต อาจทำให้ประพจน์เกิดความเป็นเท็จ อาทิ 1 = 0 ซึ่งเราจะเรียกสมการนั้นว่าเป็น สมการที่ขัดแย้งกัน หมายความว่า ไม่ว่าค่าของ x และ y จะเป็นค่าใด สมการก็ยังเป็นเท็จอยู่เสมอและไม่สามารถวาดกราฟได้ ดังเช่นสมการนี้ ${\displaystyle 3x+2=3x-5}$

สมการเชิงเส้นที่มากกว่าสองตัวแปร

สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร n ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}$

ซึ่ง ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ เป็นสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ คือตัวแปร และ b คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น ${\displaystyle x,y,z}$ ได้ตามต้องการ

สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน n–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น

ดูเพิ่ม

• เส้นตรง
• สมการกำลังสอง
• สมการกำลังสาม
• สมการกำลังสี่
• สมการกำลังห้า

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

• Algebraic Equations at EqWorld.